【题目】如图,已知面垂直于圆柱底面,
为底面直径,
是底面圆周上异于
的一点,
.求证:
(1)平面平面
;
(2)求几何体的最大体积
.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)证明两个平面垂直,应用两面垂直的判定定理,在其中一个面内找一条直线与另一个面垂直。由为底面直径,
是底面圆周上异于
的一点,可得
。由面
垂直于圆柱底面,可得
平面
,因为
平面
,所以
。因为
,
平面
,
平面
,再由直线与平面垂直的判定定理可得
平面
.又因为
平面
,由面面垂直的判定定理可得平面
平面
. (2)要求几何体
的最大体积
,应先把几何体的体积表示出来,转化为求函数的最值问题。该几何体是三棱锥,其体积为底面积与高的乘积三分之一,因为
平面
,所以
是三棱锥
的高。因为
为底面直径,且
,故可设
,在
中,
。所以三棱锥的体积为
,因为
为常数4,所以可由基本不等式求其最大值
.
试题解析:(1)证明:∵是底面圆周上异于
的任意一点,且
是圆柱底面圆的直径,∴
,
∵平面
,
平面
,∴
∵,
平面
,
平面
∴平面
.又
平面
,
∴平面平面
.
(2)设,在
中,
,
∵平面
,∴
是三棱锥
的高
因此,三棱锥的体积为
.当且仅当
,即
时,三棱锥
的体积取最大值。
∴当,即
时,三棱锥
的体积的最大值为
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
的正半轴,建立平面直角坐标系
.
(1)若曲线为参数)与曲线
相交于两点
,求
;
(2)若是曲线
上的动点,且点
的直角坐标为
,求
的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程是
(
为参数),以该直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与曲线
相交于
两点,且
,求实数
的值.
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中
,各踢了
场,
各踢了
场,
踢了
场,且
队与
队未踢过,
队与
队也未踢过,则在第一周的比赛中,
队踢的比赛的场数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
过点
,且离心率为
.过点
的直线
与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若点为椭圆
的右顶点,探究:
是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由.(其中,
,
分别是直线
、
的斜率)
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【题目】有甲、乙两个桔柚(球形水果)种植基地,已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内(单位:毫米,以下同),按规定直径在
内为优质品,现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个,测量这些桔柚的直径,所得数据整理如下:
(1)根据以上统计数据完成下面列联表,并回答是否有
以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”?
(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数 (同一组数据用该区间的中点值作代表);
(3)记甲基地直径在范围内的五个桔柚分别为
,现从中任取二个,求含桔柚
的概率.
附: ,
.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,且点
到椭圆
上任意一点的最大距离为3,椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在斜率为的直线
与以线段
为直径的圆相交于
、
两点,与椭圆相交于
、
,且
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】2017年6月深圳地铁总公司对深圳地铁1号线30个站的工作人员的服务态度进行了满意度调查,其中世界之窗、白石洲、高新园、深大、桃园、大新6个站的得分情况如下:
地铁站 | 世界之窗 | 白石州 | 高新园 | 深大 | 桃园 | 大新 |
满意度得分 | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 | x |
已知6个站的平均得分为75分.
(1)求大新站的满意度得分x,及这6个站满意度得分的标准差;
(2)从表中前5个站中,随机地选2个站,求恰有1个站得分在区间(68,75)中的概率.
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