Question

已知函数f(x)=

3x2

ax+b

（a，b为常数），且方程f（x）-2x-1=0有两个实数根分别为-1，-2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x≥

5

2

时，不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0，利用根与系数的关系可得

a+2b

3-2a

=-3，

-b

3-2a

=2，解得a和b的值，即得f（x）的解析式．
（2）当x≥

5

2

时，令x-2=t，则t≥

1

2

，x=t+2，由基本不等式求得f（x）的最小值，故c²-2c+16＜f（x）_min，解不等式求出c的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）-2x-1=0，∴

3x2

ax+b

=2x+1，∴（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0．
依题可得 

a+2b

3-2a

=-3，

-b

3-2a

=2，解之可得a=1，b=-2，故f(x)=

3x2

x-2

．
（2）当x≥

5

2

时，令x-2=t，则t≥

1

2

，x=t+2，则  y=f(x)=

3(t+2)2

t

=

3t2+12t+12

t

=3t+

12

t

+12 
≥2

3t• 12 t

+12=24，当且仅当3t=

12

t

即t=2时等号成立．
因此，当x≥

5

2

时，f（x）_min=24．不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，等价于c²-2c+16＜f（x）_min，
 等价于 c²-2c+16＜24，等价于 c²-2c-8＜0，等价于-2＜c＜4．
故c的取值范围为（-2，4）．

点评：本题考查函数的恒成立问题，求函数的解析式，基本不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，求出f（x）的最小
值是解题的关键．