如图,△OAB是边长为2的正三角形.直线x = t截这个三角形所得的,位于此直线左方的图形的面积为y.求函数y = f ( x )的解析式,并求出其定义域和值域.
解:如图, ∵ | OA | = | OB | = | AB | = 2, ∴ 点B在OA上的射影D点的坐标为(1,0). 当 0 < t ≤1时,所截图形是一个直角三角形, ∴ ; 当 1< t < 2时,所截图形是一个四边形,它的面积可由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计算,即: . 于是有 此函数的定义域为 ,即(0,2). 由于当 0 < t ≤1 时,; 当 1< t < 2时,, ∴ 所求值域为 ,即(0,). |
如图,由于直线x = t的位置不同,所截得图形的形状也不同,当直线x = t位于直线BD(D是B在OA上射影)左方时,截得图形是直角三角形,而位于右方时,截得图形为四边形.因此应对直线x = t可能允许的位置作出分类讨论. |
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