Question

附加题：
设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）满足f（1）=0，g（x）=ax+b．
设A，B是f（x）与g（x）的图象的两个交点，AA₁垂直x轴于点A₁，BB₁垂直x轴于点B₁，求线段|A₁B₁|长的取值范围．

Answer 1

分析：根据f（1）=0．得到c与a，b的关系，将f（x），g（x）两方程联立，设两根为x₁，x₂，则|A₁B₁|=|x₁-x₂|，通过韦达定理表示出线段|A₁B₁|，再根据二次函数性质求出其的取值范围．

解答：解：∵|A1B1|=|x1-x2|=

b2+2ab+a2-4ac

|a|

，
而a+b+c=0，⇒-c=a+b，
故|A1B1|=

b2+6ab+5a2 a2

=

( b a )2+6( b a )+5

令

b

a

=t，
而c=-a-b＜b⇒-a＜ab＜2a⇒a＞0，
∵a＞b，
∴

b

a

＜1，
∵-a＜2b，
∴

b

a

＞-

1

2

⇒t=

b

a

∈(-

1

2

，1)，故|A1B1|∈(

3

2

，2

3

)．

点评：本题考查了函数的变形以及二次函数的性质，是常考题型．