Question

如图，将一副三角板拼成直二面角A-BC-D，其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求证：平面BAD⊥平面CAD；  
（2）求BD与平面CAD所成的角；
（3）若CD=2，求C到平面BAD的距离．

Answer 1

分析：（1）证明面ABD⊥面ACD，只需要证明AB⊥面ACD，根据面面垂直的性质，可得线面垂直，从而得证；
（2）根据AB⊥面ACD，可得∠ADB为BD与面CAD所成角．设BC=1，则AB=

2

2

， BD=

BC

cos30°

=

2 3

3

，故可求；
（3）根据面ACD⊥面ABD，过C点作AD的垂线CH，即CH⊥面ABD，则CH为所求．

解答：（1）证明：∵面ABC⊥面BCD，CD⊥BC，CD?面BCD
∴CD⊥面ABC
∵AB?面ABC
∴CD⊥AB
又∵AB⊥AC，AC∩CD=C
∴AB⊥面ACD
∵AB?面ABD
∴面ABD⊥面ACD
（2）解：∵AB⊥面ACD
∴∠ADB为BD与面CAD所成角．
设BC=1，则AB=

2

2

， BD=

BC

cos30°

=

2 3

3

∴sin∠ADB=

AB

BD

=

2 2

2 3 3

=

6

4

．
∴BD与平面CAD所成的角为arcsin

6

4

．
（3）∵面ACD⊥面ABD
∴过C点作AD的垂线CH，垂足为H，则CH⊥面ABD．
∴CH为C到平面BAD的距离．
∵CD=2
∴BC=2

6

 AC=

6

．
∴CH=

2 6

4+6

=

2 15

5

．

点评：本题以面面垂直为载体，考查面面垂直的性质与判定，考查线面角，考查点面距离，解题的关键是正确理解面面垂直的性质与判定．