Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-na_n（n∈N^*）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）计算得a1=

1

2

；a2=

1

6

；a3=

1

12

；a4=

1

20

．
（2）猜测：an=

1

n(n+1)

．下面用数学归纳法证明
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，
即ak=

1

k(k+1)

．
那么，当n=k+1时，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．
又Sk=1-kak=

k

k+1

，
所以

k

k+1

+ak+1=1-(k+1)ak+1，
从而ak+1=

1

(k+1)(k+2)

=

1

(k+1)[(k+1)+1]

．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．