Question

6．已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；
（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．

解答 解：（1）函数y=f（x）为奇函数．
理由：当a=0时，f（x）=x|x|+2x，
f（-x）=-x|x|-2x=-f（x），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-2a）x，x≥2a}\\{-{x}^{2}+（2+2a）x，x＜2a}\end{array}\right.$，
当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a-1；
当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；
∴当a-1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，
即-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；      
（3）方程f（x）-tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．
①当-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，
∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；                          
②当a＞1时，即2a＞a+1＞a-1，
∴f（x）在（-∞，a+1）上单调增，
在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，
∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，
关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
即4a＜t•4a＜（a+1）²，
∵a＞1，
∴1＜t＜$\frac{1}{4}$（a+$\frac{1}{a}$+2）．
设h（a）=$\frac{1}{4}$（a+$\frac{1}{a}$+2），
∵存在a∈[-2，2]，
使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
∴1＜t＜h（a）_max，
又可证h（a）=$\frac{1}{4}$（a+$\frac{1}{a}$+2）在（1，2]上单调增，
∴＜h（a）_max=$\frac{9}{8}$，
∴1＜t＜$\frac{9}{8}$，
③当a＜-1时，即2a＜a-1＜a+1，
∴f（x）在（-∞，2a）上单调增，
在（2a，a-1）上单调减，在（a-1，+∞）上单调增，
∴当f（a-1）＜tf（2a）＜f（2a）时，
关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
即-（a-1）²＜t•4a＜4a，
∵a＜-1，
∴1＜t＜-$\frac{1}{4}$（a+$\frac{1}{a}$-2），
设g（a）=-$\frac{1}{4}$（a+$\frac{1}{a}$-2），
∵存在a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
∴1＜t＜g（a）_max，
又可证g（a）=-$\frac{1}{4}$（a+$\frac{1}{a}$-2）在[-2，-1）上单调减，
∴g（a）_max=$\frac{9}{8}$，
∴1＜t＜$\frac{9}{8}$；                                   
综上：1＜t＜$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．