Question

已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，则实数a的取值范围是

a＜

1

3

．

Answer 1

分析：由直线y=-x+b得直线斜率为-1，直线y=-x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为-1，即f′（x）≠-1，求导函数，并求出其范围[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，即得实数a的取值范围．

解答：解：设f（x）=x³-3ax，求导函数，可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，即实数a的取值范围为a＜

1

3

故答案为：a＜

1

3

点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．