Question

二次函数f（x）=3x²-4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．
（1）求实数c的取值范围；
（2）求⊙C的方程；
（3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出y的值，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令f（x）=0，根据与x轴交点有两个得到c不为0且根的判别式的值大于0，即可求出c的范围；
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x²+Dx+F=0，这与x²-

4

3

x+

c

3

=0是同一个方程，求出D，F．令x=0得，y²+Ey+F=0，此方程有一个根为c，代入得出E，由此求得圆C的一般方程；
（3）圆C过定点（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

），证明：直接将点的坐标代入验证．

解答：解：（1）令x=0，得抛物线与y轴的交点（0，c），
令f（x）=3x²-4x+c=0，
由题意知：c≠0且△＞0，
解得：c＜

4

3

且c≠0；
（2）设圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得到x²+Dx+F=0，这与x²-

4

3

x+

c

3

=0是一个方程，故D=-

4

3

，F=

c

3

；
令x=0，得到y²+Ey+F=0，有一个根为c，代入得：c²+cE+

c

3

=0，解得：E=-c-

1

3

，
则圆C方程为：x²+y²-

4

3

x-（c+

1

3

）y+

c

3

=0；
（3）圆C必过定点（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

），理由为：
由x²+y²-

4

3

x-（c+

1

3

）y+

c

3

=0，
令y=

1

3

，解得：x=0或

4

3

，
∴圆C必过定点（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

）．

点评：本题主要考查圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．