Question

设集合A={x|4^x-2^x+2+a=0，x∈R}．
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
（2）若对于任意a∈B，不等式x²-6x＜a（x-2）恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）令2^x=t（t＞0），设f（t）=t²-4t+a，通过换元可知：由f（t）=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根，通过分类讨论利用△及其根与系数的关系即可得出；
（2）要使原不等式对任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．转化为一次函数，利用其单调性只须解出即可．
解答：解：（1）令2^x=t（t＞0），设f（t）=t²-4t+a，由f（t）=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根，
①f（t）=0有两等根时，△=0⇒16-4 a=0⇒a=4．
验证：t²-4t+4=0⇒t=2∈（0，+∞）这时x=1．
②f（t）=0有一正根和一负根时，f（0）＜0⇒a＜0．
③若f（0）=0，则a=0，此时4^x-2•2^x=0⇒2^x=0，（舍去），或2^x=4，∴x=2，此时A中只有一个元素．
∴实数a的取值集合为B={a|a≤0或a=4}．
（2）要使原不等式对任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．
只须⇒⇒5-＜x≤2．
点评：熟练掌握换元法、指数函数的单调性、一元二次方程的判别式△及根与系数的关系、一次函数的单调性等是解题的关键．