Question

7．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
（1）双曲线过点（3，9$\sqrt{2}$），离心率e=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
（2）双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（$\sqrt{3}$，0）；
（3）与双曲线x²-2y²=2有共同的渐近线，且经过点（2，-2）；
（4）过点P（2，-1），渐近线方程是y=±3x．

Answer 1

分析 分别根据相应的条件，设出双曲线方程，解得即可．

解答 解：（1）若双曲线焦点在x轴上，设其方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{162}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=-161（舍去）；
若双曲线焦点在y轴上，设其方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{3}}\\{\frac{162}{{a}^{2}}-\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$解得a²=81，b²=9，
故双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{81}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（2）双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（$\sqrt{3}$，0），
则c=2，a=$\sqrt{3}$，
则b²=c²-a²=1，
则双曲线焦点在x轴上，设其方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1
（3）由题意设双曲线方程x²-2y²=2k，k≠0，
把点（2，-2）代入，得4-8=2k，解得k=-2，
∴x²-2y²=-4，
即$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
（4）由题意设双曲线方程x²-$\frac{1}{9}$y²=k，k≠0，
把点（2，-1）代入，得4-$\frac{1}{9}$=k，解得k=$\frac{35}{9}$，
∴x²-$\frac{1}{9}$y²=$\frac{35}{9}$，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{35}{9}}$-$\frac{{y}^{2}}{35}$=1．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程与性质，同时考查解方程组的运算能力．