Question

已知点(2，2

3

)在双曲线M：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)上，圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，b∈R，r＞0）与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4．
（Ⅰ）求双曲线M的方程；
（Ⅱ）求圆C的方程；
（Ⅲ）过圆C内一定点Q（s，t）（不同于点C）任作一条直线与圆C相交于点A、B，以A、B为切点分别作圆C的切线PA、PB，求证：点P在定直线l上，并求出直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点(2，2

3

)在双曲线M：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)上，点（1，2）在双曲线M的一条渐近线上，建立方程组，即可求得双曲线M的方程；
（Ⅱ）利用圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，b∈R，r＞0）与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4，建立方程组，即可求得圆C的方程；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则求出在点A、点B的切线方程，两方程相减，利用Q，A，B三点共线，化简，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意，点(2，2

3

)在双曲线M：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)上，点（1，2）在双曲线M的一条渐近线上，则

4 m2 - 12 n2 =1 1 m - 2 n =0

，∴m=1，n=2，∴双曲线M的方程为x2-

y2

4

=1；
（Ⅱ）解：∵圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，b∈R，r＞0）与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4
∴

|2a-b| 5 =r b2+4=r2 (1-a)2+(2-b)2=r2

∴a=3，b=1，r=

5

∴圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=5；
（Ⅲ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则在点A的切线方程为（x₁-3）（x-3）+（y₁-1）（y-1）=5
在点B的切线方程为（x₂-3）（x-3）+（y₂-1）（y-1）=5
两方程相减可得（x₁-x₂）（x-3）+（y₁-y₂）（y-1）=0
∵Q，A，B三点共线
∴（x₁-x₂）（t-y₁）-（y₁-y₂）（s-x₁）=0
∴（x₁-s）（x-3）+（y₁-t）（y-1）=0
∴（x₁-3+3-s）（x-3）+（y₁-1+1-t）（y-1）=0
∴（3-s）（x-3）+（1-t）（y-1）+（x₁-3）（x-3）+（y₁-1）（y-1）=0
∴（s-3）x+（t-1）y-3s-t+5=0
∴点P在定直线l上，直线l的方程为（s-3）x+（t-1）y-3s-t+5=0．

点评：本题考查双曲线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，综合性强，属于中档题．