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已知点(2,2
3
)
在双曲线M:
x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0)
上,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b∈R,r>0)与双曲线M的一条渐近线相切于点(1,2),且圆C被x轴截得的弦长为4.
(Ⅰ)求双曲线M的方程;
(Ⅱ)求圆C的方程;
(Ⅲ)过圆C内一定点Q(s,t)(不同于点C)任作一条直线与圆C相交于点A、B,以A、B为切点分别作圆C的切线PA、PB,求证:点P在定直线l上,并求出直线l的方程.
分析:(Ⅰ)由点(2,2
3
)
在双曲线M:
x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0)
上,点(1,2)在双曲线M的一条渐近线上,建立方程组,即可求得双曲线M的方程;
(Ⅱ)利用圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b∈R,r>0)与双曲线M的一条渐近线相切于点(1,2),且圆C被x轴截得的弦长为4,建立方程组,即可求得圆C的方程;
(Ⅲ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则求出在点A、点B的切线方程,两方程相减,利用Q,A,B三点共线,化简,即可得到结论.
解答:(Ⅰ)解:由题意,点(2,2
3
)
在双曲线M:
x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0)
上,点(1,2)在双曲线M的一条渐近线上,则
4
m2
-
12
n2
=1
1
m
-
2
n
=0
,∴m=1,n=2,∴双曲线M的方程为x2-
y2
4
=1

(Ⅱ)解:∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b∈R,r>0)与双曲线M的一条渐近线相切于点(1,2),且圆C被x轴截得的弦长为4
|2a-b|
5
=r
b2+4=r2
(1-a)2+(2-b)2=r2

∴a=3,b=1,r=
5

∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=5;
(Ⅲ)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则在点A的切线方程为(x1-3)(x-3)+(y1-1)(y-1)=5
在点B的切线方程为(x2-3)(x-3)+(y2-1)(y-1)=5
两方程相减可得(x1-x2)(x-3)+(y1-y2)(y-1)=0
∵Q,A,B三点共线
∴(x1-x2)(t-y1)-(y1-y2)(s-x1)=0
∴(x1-s)(x-3)+(y1-t)(y-1)=0
∴(x1-3+3-s)(x-3)+(y1-1+1-t)(y-1)=0
∴(3-s)(x-3)+(1-t)(y-1)+(x1-3)(x-3)+(y1-1)(y-1)=0
∴(s-3)x+(t-1)y-3s-t+5=0
∴点P在定直线l上,直线l的方程为(s-3)x+(t-1)y-3s-t+5=0.
点评:本题考查双曲线、圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查直线方程,综合性强,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点M(2
3
,1)在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,椭圆的两个焦点F1(-2
3
,0)和F2(2
3
,0),斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若点B的坐标为(0,2),是否存在直线l,使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的终边分别与单位圆交于AB两点.
(Ⅰ)如果sinα=
3
5
,点B的横坐标为
5
13
,求cos(α+β)的值;
(Ⅱ)已知点C(2
3
,-2),求函数f(α)=
OA
OC
的值域.

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(B题)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2
3
,离心率为
3
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A(-1,1),过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.

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3
,1)在椭圆C:
x2
a2
+
y2
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=1(a>b>0)上,椭圆的两个焦点F1(-2
3
,0)和F2(2
3
,0),斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若点B的坐标为(0,2),是否存在直线l,使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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