Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．已知f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+

1

2a2+1

对称，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）转化为直接解方程x²-x-3=x即可．
（2）转化为ax²+bx+b-1=0有两个不等实根，转化为b²-4a（b-1）＞0恒成立，再利用二次函数大于0恒成立须满足的条件来求解即可．
（3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直．找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得．

解答：解：（1）∵a=1，b=-2时，f（x）=x²-x-3，
f（x）=x?x²-2x-3=0?x=-1，x=3
∴函数f（x）的不动点为-1和3；

（2）即f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x有两个不等实根，
转化为ax²+bx+b-1=0有两个不等实根，须有判别式大于0恒成立
即b²-4a（b-1）＞0?△=（-4a）²-4×4a＜0?0＜a＜1，
∴a的取值范围为0＜a＜1；

（3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），则x₁+x₂=-

b

a

，
A，B的中点M的坐标为  （

x1+x2

2

，

x1 +x2

2

），即M（-

b

2a

，-

b

2a

）
∵A、B两点关于直线y=kx+

1

2a2+1

对称，
又因为A，B在直线y=x上，
∴k=-1，A，B的中点M在直线y=kx+

1

2a2+1

上．
∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

?b=-

a

2a2+ 1

=-

1

2a+ 1 a

利用基本不等式可得
当且仅当a=

2

2

时，b的最小值为-

1

2 2

．

点评：本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题．关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直．