Question

（2010•广东模拟）在△ABC中，sin（C-A）=1，sinB=

1

3

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设AC=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用sin（C-A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=

1

3

，求出sinA的值；
（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=

6

，求出BC，求出sinC，然后求△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）因为sin（C-A）=1，所以C-A=

π

2

，且C+A=π-B，
∴A=

π

4

-

B

2

，
∴sinA=sin(

π

4

-

B

2

)=

2

2

(cos

B

2

-sin

B

2

)，
∴sin2A=

1

2

(1-sinB)=

1

3

，
又sinA＞0，∴sinA=

3

3

（Ⅱ）如图，由正弦定理得

AC

sinB

=

BC

sinA

∴BC=

ACsinA

sinB

=

6 • 3 3

1 3

=3

2

，
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×

2 2

3

+

6

3

×

1

3

=

6

3

∴S△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

点评：本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．