【题目】如图,在四面体中,
,
.
(1)证明:;
(2)若,
,四面体
的体积为2,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)作Rt△斜边
上的高
,连结
,易证
平面
,从而得证;
(2)由四面体的体积为2,
,得
,所以
平面
,以
,
,
为
,
,
轴建立空间直角坐标系
,利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.
详解:解法一:(1)如图,作Rt△斜边
上的高
,连结
.
因为,
,所以Rt△
≌Rt△
.可得
.所以
平面
,于是
.
(2)在Rt△中,因为
,
,所以
,
,
,△
的面积
.因为
平面
,四面体
的体积
,所以
,
,
,所以
平面
.
以,
,
为
,
,
轴建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,
,
,
.
设是平面
的法向量,则
,即
,可取
.
设是平面
的法向量,则
,即
,可取
.
因为,二面角
的平面角为钝角,所以二面角
的余弦值为
解法二:(1)因为,
,所以Rt△
≌Rt△
.可得
.
设中点为
,连结
,
,则
,
,所以
平面
,,于是
.
(2)在Rt△中,因为
,
,所以△
面积为
.设
到平面
距离为
,因为四面体
的体积
,所以
.
在平面内过
作
,垂足为
,因为
,
,所以
.由点到平面距离定义知
平面
.
因为,所以
.因为
,
,所以
,
,所以
,即二面角
的余弦值为
.
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【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女,结果如表.
非一线 | 一线 | 总计 | |
愿生 | |||
不愿生 | |||
总计 |
附表:
| |||
由算得,
参照附表,得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
D. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
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【题目】为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗,业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料,该材料有效使用年限为20年.已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元,且每年的能源消耗费用(万元)与隔热层厚度
(毫米)满足关系:
.设
为隔热层建造费用与
年的能源消耗费用之和.
(1)请解释的实际意义,并求
的表达式;
(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时,业主所付的总费用最少?并求此时与不建隔热层相比较,业主可节省多少钱?
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【题目】已知直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点为M,
(1)求过点M且到点P(0,4)的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点M且与直线l3:x+3y+1=0平行的直线l的方程.
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【题目】现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是
,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
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【题目】如图,在平面斜坐标系中,
,平面上任意一点
关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若
(其中
,
分别为与
轴,
轴同方向的单位向量),则
点的斜坐标为
(1)若点在斜坐标系
中的坐标为
,求点
到原点
的距离.
(2)求以原点为圆心且半径为
的圆在斜坐标系
中的方程.
(3)在斜坐标系中,若直线
交(2)中的圆于
两点,则当
为何值时,
的面积取得最大值?并求此最大值.
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【题目】已知圆C1的方程为x2+(y+1)2=4,圆C2的圆心坐标为(2,1).
(1)若圆C1与圆C2相交于A,B两点,且|AB|=,求点C1到直线AB的距离;
(2)若圆C1与圆C2相内切,求圆C2的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程为
,
点的坐标为
.
(1)求过点且与圆
相切的直线方程;
(2)过点任作一条直线
与圆
交于不同两点
,
,且圆
交
轴正半轴于点
,求证:直线
与
的斜率之和为定值.
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