Question

设点O是直角坐标系的原点,点M在直线l:x=-p(p＞0)上移动,动点N在线段MO的延长线上,且满点|MN|=|MO|·|NO|.

(1)求动点N的轨迹方程;

(2)当p=1时,求|MN|的最小值.

Answer 1

解：(1)过N作NN′垂直x轴于N′,设直线l与x轴交于M′.

设N(x,y)(x＞0),则N′(x,0),M′(-p,0),

∵M、O、N三点共线,

∴

由

∵x＞0,p＞0,将上式整理化简为

(p²-1)x²+p²y²-2px-p²=0(x＞0).

(2)当p=1时,N点轨迹为y²=2x+1(x＞0),

设N(x,y),M(-1,t).

由M、O、N共线,

得∴M(-1,-).

则|MN|=

=x++2≥2+2=4.

当且仅当x=,即x=1时,等式成立.

∴当x=1时,|MN|最小值为4.

绿色通道：

本题关键在于能否建立合理的等式,再将等式转化为用动点坐标(x,y)来表示,即可求得动点的轨迹方程.