Question

【题目】若bm为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为 ．

Answer 1

【答案】64或65
【解析】解：依题意： ，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
设b1=t，即数列{an}中，不超过A的项恰有t项，
∴2t≤A＜2t+1 ，
同理：2t+d≤8A＜2t+d+1 ， 2t+2d≤125A＜2t+2d+1 ，
可得：2t≤A＜2t+1 ， 2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2 ， ，
故max{ }≤A＜min{ }，
由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1 ， ，得d＜4，
∵d为正整数，∴d=1，2，3．
当d=1时，max{ }=max{ }=2t ，
min{ }=min{ }= ＜2t ， 不合题意，舍去；
当d=2时，max{ }=max{ }=2t ，
min{ }=min{ }= ＜2t ， 不合题意，舍去；
当d=3时，max{ }=max{ }=2t ，
min{ }=min{ }= ＞2t ， 适合题意．
此时2t≤A＜ ，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．
∵b3=10，∴4≤t≤7，
∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b3=10，
∴210≤27A＜211 ， ∴ ≤A＜ ．
当t=4时，24≤A＜ ，∴无解．
当t=5时，25≤A＜ ，∴无解．
当t=6时，26≤A＜ ，∴64≤A＜ ．
当t=7时，27≤A＜ ，∴无解．
则26≤A＜ ．
∵A∈N* ， ∴A=64或A=65．
综上：A=64或65．
所以答案是：64或65．
【考点精析】掌握数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．