Question

12．已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则AB=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意和三角形的面积公式求出sinC的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．

解答 解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
则$\frac{1}{2}×1×2$×sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
当C=$\frac{π}{3}$时，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=1+4-2×1×$2×\frac{1}{2}$=3，AB=$\sqrt{3}$，
则A是最大角，cosA=0，则A是直角，
这与三角形是钝角三角形矛盾，
所以C=$\frac{2π}{3}$，则AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=1+4+2×1×$2×\frac{1}{2}$=7，则AB=$\sqrt{7}$，
故选：B．

点评 本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．