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1.已知圆O:x2+y2=4.
(Ⅰ)直线l1过点P(1,2),且与圆O于A、B两点,若AB=2$\sqrt{3}$,求直线l1的方程;
(2)设圆O与x轴相交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A(4,0)且与x轴垂直的直线l2,直线PM交直线l2于点P,直线OM交直线l2于点Q,以PQ为直径的圆总过定点,并求出定点坐标.

分析 (1)由题意,圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1,分类讨论,圆心到直线的距离等于半径,可以求出k值,进而得到直线l1的方程;
(2)由已知我们易求出P,Q两个点的坐标,设出M点的坐标,我们可以得到点P′与Q′的坐标(含参数),进而得到以P′Q′为直径的圆的方程,根据圆的方程即可判断结论.

解答 解:(1)由题意,圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1,
斜率不存在时,x=1满足题意;
斜率存在时,设方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
∴点O(0,0)到直线l1的距离为$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得k=$\frac{3}{4}$,
∴直线l1的方程为3x-4y+5=0,
综上所述直线l1的方程为3x-4y+5=0或x=1;
(2)对于圆O的方程x2+y2=4,P(-2,0),Q(2,0).
又直线l2方程为x=4,设M(s,t),则直线PM方程为y=$\frac{t}{s+2}$(x+2).
方程联立,得P′(4,$\frac{6t}{s+2}$),
同理可得:Q′(4,$\frac{2t}{s-2}$),
所以圆C的圆心C的坐标为(4,$\frac{4st-4t}{{s}^{2}-4}$),半径长为|$\frac{8t-2st}{{s}^{2}-4}$|,
又点M(s,t)在圆上,又s2+t2=4.故圆心C为(4,$\frac{4s-4}{t}$),半径长|$\frac{8-2s}{t}$|.
所以圆C的方程为(x-4)2+(y-$\frac{4s-4}{t}$)2=|$\frac{8-2s}{t}$|2
令y=0,则(x-4)2=12,
所以x=4±2$\sqrt{3}$,
所以圆C经过定点且定点坐标为(4±2$\sqrt{3}$,0).

点评 本题考查的知识是直线和圆的方程的应用,其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时,点到直线的距离与半径的关系,弦长公式等是解答本题的关键.

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