Question

（本小题满分10分）
如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 
    
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）与平面所成的角的正弦值为。

本试题主要是考查了线面垂直的判定定理的运用，以及线面角的求解的综合运用。
（1）根据已知条件，PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，然后借助于三角形得到求解。
解法1（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的正弦值为

解法2如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，     
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴与平面所成的角的正弦值为