[题目]已知椭圆的左.右焦点分别为.离心率.且椭圆的短轴长为2.(1)球椭圆的标准方程,(2)已知直线过右焦点.且它们的斜率乘积为.设分别与椭圆交于点和.①求的值,②设的中点.的中点为.求面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且椭圆的短轴长为2.

（1）球椭圆的标准方程；

（2）已知直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和.

①求的值；

②设的中点，的中点为，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

；

（1）由椭圆短轴长为2，得b=1，再由离心率结合计算即可得到椭圆的方程;（2）① 由直线过右焦点，设出直线AB方程，将AB方程与椭圆方程联立，写出韦达定理计算弦长AB, 由两直线斜率乘积为，将弦长AB中的斜率变为可得弦长CD,相加即得结果;②由中点坐标公式可得点M,N坐标，观察坐标知MN中点T在x轴上，所以，整理后利用基本不等式即可得面积的最值.

（1）由题设知：

解得

故椭圆的标准方程为.

（2）①设的直线方程为，

联立消元并整理得，

所以，，

于是，

同理，

于是.

②由①知，，，，

所以，，

所以的中点为，

于是，

当且仅当，即时取等号，

所以面积的最大值为.

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(1) 现从重点分析的人中随机抽取了人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；

(2) 若有的把握认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数至少为多少？

参考数据：

	0．050	0．025	0．010	0．005	0．001
	3．841	5．024	6．635	7．879	10．828

，其中．

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