Question

圆c：x²+（y-1）²=1和圆c₁：（x-2）²+（y-1）²=1，现构造一系列的圆c₂，c₃，…，c_n，…，使圆c_n+1同时与圆c_n和圆c相切，并且都与x轴相切．
①写出圆c_n-1的半径r_n-1与圆c_n的半径r_n之间关系式，并求出圆c_n的半径；
②（理科做）设两个相邻圆c_n和c_n+1的外公切线长为l_n，求

lim

n→∞

(l1+l2+…+ln)．
（文科做）求l₁+l₂+…+l_n．

Answer 1

分析：（1）圆c_n+1同时与圆c_n和圆c相切，并且都与x轴相切，故可得出两个方程，化简可得圆c_n-1的半径r_n-1与圆c_n的半径r_n之间关系式，从而求出圆c_n的半径；
（2）由（1）知圆心坐标，再求外公切线长，利用裂项法可求和．

解答：解：（1）由题意，c₁（2，1），r₁=1，设c_n（x_n，r_n），c_n-1（x_n-1，r_n-1），则有xn=2 

rn

，xn-xn-1=-2

rnrn-1

，即

1

rn

-

1

rn-1

=1∴

1

rn

=n，从而有rn=

1

n2

；
（2）（理科）由（1）知，cn(

2

n

，  

1

n2

)，cn-1(

2

n-1

，

1

(n-1)2

)，∴ln=

2

n(n+1)

，
∴l1+l2+…+ln=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

，∴

lim

n→∞

(l1+l2+…+ln)=2．
（文科）由（1）知，cn(

2

n

，  

1

n2

)，cn-1(

2

n-1

，

1

(n-1)2

)，∴ln=

2

n(n+1)

，
∴l1+l2+…+ln=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

，

点评：本题主要考查圆与圆相切，应充分利用两圆外切的条件，进行等价变形，对于求和利用裂项法．