【题目】设G为△ABC的重心,过G作直线l分别交线段AB,AC(不与端点重合)于P,Q.若 =λ , =μ
(1)求 + 的值;
(2)求λμ的取值范围.
【答案】
(1)解:连结AG并延长交BC于M,则M是BC的中点,则 , .
又 , ,
∴ = , =( ) + .
∵P,G,Q三点共线,故存在实数t,使 =t ,即( ) + = .
∴ ,两式相除消去t得1﹣3λ=﹣ ,即 .
(2)解:∵1﹣3λ=﹣ ,∴ ,
∵λ,μ∈(0,1),∴ ,解得 .∴ .
∴λμ= = .
∴当 时,λμ取得最小值 ,当 或2时,λμ取得最大值 .
∴λμ的取值范围是[ , ).
【解析】(1)使用 表示出 ,根据P,Q,G三点共线得出λ,μ的关系;(2)用λ表示出μ,令λ,μ∈(0,1)得出λ的范围,则λμ可表示为关于λ的函数,求出该函数的最值即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面向量的基本定理及其意义的相关知识,掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.
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【题目】已知集合A={x|1<x≤5},集合B={ >0}.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|a+1≤x≤4a﹣3},且C∪A=A,求实数a的取值范围.
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【题目】某理科考生参加自主招生面试,从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.
(1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到理科题的概率;
(2)该考生答对理科题的概率均为,若每题答对得10分,否则得零分,现该生抽到3道理科题,求其所得总分的分布列与数学期望.
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【题目】如图,在圆柱中,A,B,C,D是底面圆的四等分点,O是圆心,A1A,B1B,C1C与底面ABCD垂直,底面圆的直径等于圆柱的高.
(Ⅰ)证明:BC⊥AB1;
(Ⅱ)(ⅰ)求二面角A1 - BB1 - D的大小;
(ⅱ)求异面直线AB1和BD所成角的余弦值.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: .
(Ⅰ)求曲线C1和C2的直角坐标方程,并分别指出其曲线类型;
(Ⅱ)试判断:曲线C1和C2是否有公共点?如果有,说明公共点的个数;如果没有,请说明理由;
(Ⅲ)设是曲线C1上任意一点,请直接写出a + 2b的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(Ⅰ)写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角;
(Ⅱ)若点P(1,2),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)= ,曲线C的参数方程为 (α为参数).
(1)求直线l的普通方程;
(2)若P是曲线C上的动点,求点P到直线l的最大距离及点P的坐标.
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