Question

【题目】（1）求证：正三角形各顶点到其外接圆上任一切线的距离之和为定值；

（2）猜想空间命题“正四面体各顶点到其外接球的任一切面的距离之和为定值”是否成立？证明你的结论．注：与球只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点，切点与球心的连线垂直于切面．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）如图，设正外接圆的圆心为，半径为，任意一条切线为，联结交于点．则为的中点，且．

一般地，用记号表示点到切线的距离．则，，

得（定值）．

（2）结论是肯定的．证明如下：

如图，作正四面体的外接正方体，在正四面体中，、分别是线段、的中点，是的中心，是正四面体的外接球的球心．则、、三点共线，且为线段的中点（是正方体的中心，、分别是正方体上、下两面的中心，是正方体主对角线的）．

用记号表示点到切面的距离，用表示外接球的半径长．则

，，，

得 （定值）．