Question

（2012•绵阳二模）已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂且平行于y轴的直线交双曲线的渐近线于M N两点．若△MNF₁为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（A）（　　）

• A．（1，

  3

  ）
• B．（1，

  5

  ）
• C．（

  3

  ，+∞）
• D．（

  5

  ，+∞）

Answer 1

分析：由过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△MNF₁为等腰三角形，若△MNF₁为锐角三角形，只要∠NF₁M为锐角即可，从而2c＞

bc

a

，进而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答：解：由题设条件可知△MNF₁为等腰三角形，若△MNF₁为锐角三角形，只要∠NF₁M为锐角即可，
∴|F₁F₂|＞|MF₂|
∵过F₂且平行于y轴的直线交双曲线的渐近线于M N两点，∴|MF₂|=

bc

a

∴2c＞

bc

a

，∴2a＞b
∴4a²＞b²，∴4a²＞c²-a²
∴5a²＞c²，∴

c

a

＜

5

∴e＜

5

∵e＞1，∴1＜e＜

5

故选B．

点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．