Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[0，

π

2

]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求出函数f（x）在x∈[0，

π

2

]的取值情况，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x=1-cos（

π

2

+2x）+

3

cos2x=1+sin2x+

3

cos2x=1+2sin（2x+

π

3

），
由由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
所以函数 的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）-m=2得f（x）=m+2，
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
由图象得f（0）=1+2sin

π

3

=1+

3

，
函数f（x）的最大值为1+2=3，
∴要使方程f（x）-m=2在x∈[0，

π

2

]上有两个不同的解，
则f（x）=m+2在x∈[0，

π

2

]上有两个不同的解，
即函数f（x）和y=m+2在x∈[0，

π

2

]上有两个不同的交点，
即1+

3

≤m+2＜3，
即

3

-1≤m＜1．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，利用数形结合是解决本题的关键．