Question

已知二次函数f（x）的二次系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）若函数y=f（x）+6a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（2）记f（x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f（x）+2x=a（x-1）（x-3），a＜0．可得f（x）=ax²-（2+4a）x+3a．再根据判别式△=0，求得a的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由函数f（x）的解析式 可得h（a）=-a+

1

-a

-4，利用对勾函数的性质求得h（a）的最小值．

解答： 解：（1）由f（x）+2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}知：
f（x）+2x=a（x-1）（x-3）（a＜0）．
则f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a①
又因为y=f（x）+6a有且只有一个零点，
即方程ax²-（2+4a）x+9a=0有两个相等的实根，
于是△=[-（2+4a）]²-4a×9a=0，
即5a²-4a-1=0，
解得a=-

1

5

或a=1（舍），
将a=-

1

5

代入①式，得f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

．

（2）由①及a＜0知，f（x）的最大值h(a)=-

a2+4a+1

a

=-a-

1

a

-4．
又因为-a＞0，由对勾函数的性质，
得h(a)=-a-

1

a

-4≥2-4=-2，当且仅当a=-1时，等号成立．
故h（a）的最小值为-2．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质、对勾函数的图象和性质的应用，属于基础题．