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已知函数
(1)当0<a<b且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(2)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)由f(a)=f(b),推得0<a<1<b,且,再利用基本不等式即可得到结论.
(2)先假设存在满足条件的实数a,b,由于f(x)是绝对值函数,则分当a,b∈(0,1)时、a∈(0,1)且b∈[1,+∞)和a,b∈[1,+∞)时三种情况分析,即可得到正确结论.
解答:解:(1)f(a)=f(b)得,得a=b(舍)或
,∴
∵a≠b,∴等号不可以成立,故ab>1…..…(5分)
(2)不存在.
①当a,b∈(0,1)时,在(0,1)上单调递减,可得
矛盾
②当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,显然1∈[a,b],而f(1)=0,则0∈[a,b]矛盾
③当在(1,+∞)上单调递增,可得,a,b是方程的两个根,此方程无解; …(11分)
点评:本题主要考查绝对值函数的单调性、定义域和值域,同时还考查学生的分类讨论解决问题的能力.
练习册系列答案
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(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(2)是否存在实数a、b,(a<b),使得函数y=f(x)的定义域是[a,b],值域是数学公式,若存在,则求出a、b的值;若不存在,请说明理由.

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