精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
7.如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,
①四边形BFD1E一定是平行四边形
②四边形BFD1E有可能是正方形
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D
以上结论正确的为①③④.(写出所有正确结论的编号)

分析 ①正方形ABCD-A1B1C1D1中,前后、左右两对侧面相互平行,利用面面平行的性质定理可判断四边形BFD1E是平行四边形;
②先假设四边形BFD1E是正方形,利用勾股定理可导出矛盾,从而可判断其正误;
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影为ABCD,是正方形,可判断其正误;
④四利用菱形的对角线互相垂直及面面垂直的性质,可判断四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D.

解答 解:连接D1E、D1F、BE、BF、EF,
对于①,正方形ABCD-A1B1C1D1中,前后、左右两对侧面相互平行,由面面平行的性质定理可得,BE∥D1F,D1E∥BF,故四边形BFD1E一定是平行四边形,①正确;
对于②,设该正方体的边长为2,若四边形BFD1E是正方形,
则E、F分别为AA1与CC1的中点,D1E=BE且D1E⊥BE,
实际上,D1E=BE=5
BD1=23,并不满足D1E2+BE2=BD12,即D1E⊥BE不成立,故②错误;
对于③,四边形BFD1E在底面ABCD内的投影是ABCD,为正方形,故③正确;
对于④,当E和F是所在棱的中点时,易证BE=D1E,则四边形BFD1E是菱形,则EF垂直于BD1,同理四边形B1FDE也是菱形,则EF垂直于B1D,因此EF垂直于平面BB1D1D,从而平面BFD1E垂直于平面BB1D1D,即四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D,故④正确.
综上所述,以上结论正确的为①③④.
故答案为:①③④.

点评 本题考查命题的真假判断与应用,突出考查空间几何中面面平行、面面垂直的性质与判定,考查作图、分析与逻辑推理能力,属于难题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.若α,β∈(0,π)且 tanα=12tanβ=13,则α+β=(  )
A.π4B.3π4C.5π4D.7π4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知A(0,2),B(3,1)是椭圆G:x2a2+y2b2=1ab0上的两点.
(1)求椭圆G的离心率;
(2)已知直线l过点B,且与椭圆G交于另一点C(不同于点A),若以BC为直径的圆经过点A,求直线l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、玩美数),如6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,此外,它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和,如6=21+22,28=22+23+24,…,按此规律,8128可表示为26+27+…+212

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

2.若直线l1:x+ky+1=0(k∈R)与l2:(m+1)x-y+1=0(m∈R)相互平行,则这两直线之间距离的最大值为2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

12.在数字1、2、3、4中随机选两个数字,则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为56

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.
(1)求证:B1C1∥平面A1DE;
(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD,且两两夹角都为60°,若球半径为R,则△BCD的面积为233R2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

17.四面体ABCD中,已知AB=AC=BC=BD=CD=1,则该四面体体积的最大值是18,表面积的最大值是32+1.

查看答案和解析>>

同步练习册答案
关 闭