分析:(1)按题意可关于x的方程
loga=log
aa(x-1)在(2,+∞)内有二不等实根x=s、t,等价于关于x的二次方程ax
2+(a-1)x+2(1-a)=0在(2,+∞)内有二异根s、t,然后建立不等式关系,解之即可求出a的取值范围;
(2)先求出g(x)的导数为g'(x)=
•,令φ(x)=ax
2+(a-1)x+2(1-a),则φ(2)φ(4)=4a(18a-2)=8a(9a-1)<0.根据函数g(x)的单调性可知M=g(4),根据a的范围可求出M的取值范围.
解答:解:(1)按题意,得
loga=f(x)
max=log
aa(s-1).
∴
即 s>2.
又
loga=f(x)
min=log
aa(t-1)
∴关于x的方程
loga=log
aa(x-1)在(2,+∞)内有二不等实根x=s、t.
?关于x的二次方程ax
2+(a-1)x+2(1-a)=0在(2,+∞)内有二异根s、t.
?
| a>0且a≠1 | △=(a-1)2+8a(a-1)>0 | ->2 | 4a+2(a-1)+2(1-a)>0 |
| |
?0<a<
. 故 0<a<
.
(2)∵g(x)=
logaa(x-1)-loga=
loga+1,
g'(x)=
•.
令φ(x)=ax
2+(a-1)x+2(1-a),则φ(2)φ(4)=4a(18a-2)=8a(9a-1)<0.
∴2<s<4<t.
∵lna<0,∴当x∈(s,4)时,g'(x)>0;当x∈(4,t)是g'(x)>0.
∴g(x)在[s,4]上递增,在[4,t]上递减.
故M=g(4)=log
a9+1=log
a9a.
∵0<a<
,∴a<9a<1.
∴0<M<1.
点评:本题主要考查了对数函数的定义域和值域,同时考查了利用导数研究函数的单调性,以及最值的计算,属于中档题.