Question

已知函数f(x)=loga

x-2

x+2

的定义域为[s，t]，值域为[log_aa（t-1），log_aa（s-1）]．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数g（x）=logaa(x-1)-loga

x-2

x+2

，x∈[s，t]的最大值为M，求证：0＜M＜1．

Answer 1

分析：（1）按题意可关于x的方程loga

x-2

x+2

=log_aa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根x=s、t，等价于关于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根s、t，然后建立不等式关系，解之即可求出a的取值范围；
（2）先求出g（x）的导数为g'（x）=

1

lna

•

x(x-4)

(x+2)(x-1)(x-2)

，令φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），则φ（2）φ（4）=4a（18a-2）=8a（9a-1）＜0．根据函数g（x）的单调性可知M=g（4），根据a的范围可求出M的取值范围．

解答：解：（1）按题意，得loga

s-2

s+2

=f（x）_max=log_aa（s-1）．
∴

s-2 s+2 ＞0 s-1＞0

　即　s＞2．
又loga

t-2

t+2

=f（x）_min=log_aa（t-1）
∴关于x的方程loga

x-2

x+2

=log_aa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根x=s、t．
?关于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根s、t．
?

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

?0＜a＜

1

9

．　　故　0＜a＜

1

9

．
（2）∵g（x）=logaa(x-1)-loga

x-2

x+2

=loga

(x-1)(x+2)

x-2

+1，
g'（x）=

1

lna

•

x(x-4)

(x+2)(x-1)(x-2)

．
令φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），则φ（2）φ（4）=4a（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜s＜4＜t．
∵lna＜0，∴当x∈（s，4）时，g'（x）＞0；当x∈（4，t）是g'（x）＞0．
∴g（x）在[s，4]上递增，在[4，t]上递减．
故M=g（4）=log_a9+1=log_a9a．
∵0＜a＜

1

9

，∴a＜9a＜1．
∴0＜M＜1．

点评：本题主要考查了对数函数的定义域和值域，同时考查了利用导数研究函数的单调性，以及最值的计算，属于中档题．