Question

10．已知函数f（x）=x²+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x+y+3=0垂直，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₁的值为（　　）

• A． $\frac{2012}{2011}$
• B． $\frac{2010}{2011}$
• C． $\frac{2013}{2012}$
• D． $\frac{2011}{2012}$

Answer 1

分析 由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值，根据f（n）的解析式，用裂项法求得数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n的值，可得S₂₀₁₁的值．

解答 解：由题意可得A（0，0），函数f（x）=x²+2bx的图象在点A（0，0）处的切线l的斜率为0+2b=2b，
再根据l与直线x+y+3=0垂直，可得2b•（-1）=1，∴b=-$\frac{1}{2}$．
∵f（n）=n²+2bn=n²-n=n（n-1），∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
故数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n =0+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n}$，
∴S₂₀₁₁=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数在某一点的导数的几何意义，用裂项法进行数列求和，属于中档题．