Question

已知一条直线与一个平面平行,求证:经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.

已知:直线a∥平面α,点A∈α,点A∈直线b,并且a∥b.

求证:bα.

Answer 1

证明:(反证法)

假设bα,

∵A∈α,A∈b,∴b和α相交.

∵a∥α,A∈α,∴A?a.

∴点A和直线a确定一个平面,设为β,

即A∈β,aβ.

在β内,过A作直线b′,使a∥b′.

∵a∥b,∴b∥b′.

∵bα,b′α,A∈b,A∈b′,

∴b∩b′=A.

这与b∥b′矛盾.

∴bα不成立.∴bα.

小结:此题的结论是直线在平面内的一种判定方法.反证法的基本思想是假设结论的反面成立,经过合理的推导、论证会导出一个矛盾问题.这个矛盾可能是与已知条件、概念、定理、公理矛盾或自相矛盾.矛盾原因是由假设造成的,说明假设错,则原结论成立.有时结论的反面不仅一种情况,需要一一驳倒,才能说明原结论成立.一般用来证明正面难以入手的题目.