Question

7．8．已函数f（x）=x|x-a|，a∈R．
（1）当a=2时．求f（x）的单调区间；
（2）设a≥2，求函数f（x）在区间[2，4]内的值域．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，结合二次函数的性质从而求出函数的单调区间；
（2）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出其最大值和最小值，进而求出函数的值域即可．

解答 解：（1）a=2时：f（x）=x|x-2|，
x≤2时，f（x）=x（2-x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
对称轴x=1，
∴f（x）在（-∞，1）递增，在（1，2]递减；
x＞2时，f（x）=x（x-2）=x²-2x=（x-1）²-1，
对称轴x=1，
∴f（x）在（2，+∞）递增，
综上：f（x）在（-∞，1）、（2，+∞）递增，在（1，2]递减；
（2）f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax，x＜a}\end{array}\right.$，
∵a≥2，∴对称轴x=$\frac{a}{2}$≥1，
①1≤$\frac{a}{2}$≤2即：2≤a≤4时：
函数f（x）在[2，$\frac{a}{2}$]递减在（$\frac{a}{2}$，4]单调递增，
f（x）_最小值=f（a）=0，f（x）_最大值=f（2）=-4+2a，
∴函数f（x）在区间[2，4]内的值域为：[0，-4+2a]；
②4≤a≤6时，$\frac{a}{2}$≥2，
∴f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（x）_min=f（4）=4a-16，
∴值域是[4a-16，$\frac{{a}^{2}}{4}$]；
③6＜a＜8时，3＜$\frac{a}{2}$＜4，
f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（x）_min=f（2）=2a-4，
值域是：[2a-4，$\frac{{a}^{2}}{4}$]；
④a≥8时：$\frac{a}{2}$≥4，
∴f（x）_max=f（4）=4a-16，f（x）_min=f（2）=2a-4，
∴值域是：[2a-4，4a-16]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．