Question

（本小题满分12分）
已知椭圆的左右焦点分别为、，由4个点、、和组成一个高为，面积为的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线和椭圆交于、两点，求面积的最大值．

Answer 1

（1）（2）取最大值3.

试题分析：解：（1）由条件，得b=，且，
所以a+c=3.                                        2分
又，解得a=2，c=1.                      
所以椭圆的方程.                        4分
（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my-1，直线与椭圆交于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).
联立方程   ，消去x得,  ，
因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交.
               6分
=                   8分
                           10分
令,设,易知时,函数单调递减, 函数单调递增
所以   当t==1即m=0时，
取最大值3.                                       12分
点评：解决的关键是根据椭圆的性质来得到其方程，以及根据联立方程组的思想来得到面积的表示，属于基础题。