精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
11.若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b(其中a,b不同时为0),则称函数y=f(x)为“准奇函数”,称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”.现有如下命题:
①函数f(x)=sinx+1是准奇函数;
②若准奇函数y=f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),则函数F(x)=f(x+a)-f(a)为R上的奇函数;
③已知函数f(x)=x3-3x2+6x-2是准奇函数,则它的“中心点”为(1,2);
其中正确的命题是①②③..(写出所有正确命题的序号)

分析 在①中,f(0+x)+f(0-x)=2,得a=0,b=1,满足“准奇函数”的定义;在②中,根据函数“准奇函数”的定义,利用函数奇偶性的定义即可证明函数F(x)=f(x+a)-f(a)为R上的奇函数;在③中,f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+6(1+x)-2+(1-x)3-3(1-x)2+6(1-x)-2=4,得点(1,2)为函数f(x)的“中心点”.

解答 解:在①中,∵函数f(x)=sinx+1,∴f(0+x)+f(0-x)=2,
∴a=0,b=1,满足“准奇函数”的定义,故①正确;
在②中,若F(x)=f(x+a)-f(a),
则F(-x)+F(x)=f(x+a)-f(a)+f(-x+a)-f(a)=f(a-x)+f(a+x)-2f(a),
∵f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),
∴f(a-x)+f(a+x)=2f(a),
即F(-x)+F(x)=f(a-x)+f(a+x)-2f(a)=0,
∴F(-x)=-F(x),∴函数F(x)=f(x+a)-f(a)为R上的奇函数,∴故②正确.
在③中,函数f(x)=x3-3x2+6x-2,
∴f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+6(1+x)-2+(1-x)3-3(1-x)2+6(1-x)-2=4,
∴点(1,2)为函数f(x)的“中心点”,故③正确.
故答案为:①②③.

点评 本题主要考查函数中心的定义的应用,综合性较强,运算量量较大,难度较大.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.某电视竞赛截面设置了先后三道程序,优、良、中,若选手在某道程序中获得“中”,则该选手在本道程序中不通过,且不能进入下面的程序,选手只有全部通过三道程序才算通过,某选手甲参加了该竞赛节目,已知甲在每道程序中通过的概率为$\frac{3}{4}$,每道程序中得优、良、中的概率分别为p1,$\frac{1}{2}$,p2
(1)求甲不能通过的概率;
(2)设ξ为在三道程序中获优的次数,求ξ的分布列.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.复数$z=\frac{3+7i}{i}$的实部与虚部分别为(  )
A.7,-3B.7,-3iC.-7,3D.-7,3i

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

19.若sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,则cos2α=(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.-$\frac{1}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.(1+x-$\frac{2}{x}$)6的展开式中的常数项是141.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知函数f(x)=$\frac{a}{{{a^2}-1}}({a^x}-\frac{1}{a^x})$(a>0且a≠1)
(1)①若a=$\sqrt{2}$,判断函数的单调性(可不证明);②判断并证明函数的奇偶性;
(2)问:在y=f(x)的图象上是否存在两个不同点A、B,使直线AB与x轴平行?若存在,证明你的结论;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.在锐角△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c且$bcosC=\sqrt{2}acosB-ccosB$,
(1)求角B大小
(2)设A=θ,求函数$f(θ)=2{sin^2}(\frac{π}{4}+θ)-\sqrt{3}cos2θ-2$的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<$\frac{π}{2}$)的部分图象如下图所示,其中A,B分别为函数f(x)图象的一个最高点和最低点,且A,B两点的横坐标分别为1,4,若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,则函数f(x)的一个单调减区间为(  )
A.(-6,-3)B.(6,9)C.(7,10)D.(10,13)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.
(1)求证:BC⊥BE;
(2)求几何体AEB-DFC的体积;
(3)求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案