分析 在①中,f(0+x)+f(0-x)=2,得a=0,b=1,满足“准奇函数”的定义;在②中,根据函数“准奇函数”的定义,利用函数奇偶性的定义即可证明函数F(x)=f(x+a)-f(a)为R上的奇函数;在③中,f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+6(1+x)-2+(1-x)3-3(1-x)2+6(1-x)-2=4,得点(1,2)为函数f(x)的“中心点”.
解答 解:在①中,∵函数f(x)=sinx+1,∴f(0+x)+f(0-x)=2,
∴a=0,b=1,满足“准奇函数”的定义,故①正确;
在②中,若F(x)=f(x+a)-f(a),
则F(-x)+F(x)=f(x+a)-f(a)+f(-x+a)-f(a)=f(a-x)+f(a+x)-2f(a),
∵f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),
∴f(a-x)+f(a+x)=2f(a),
即F(-x)+F(x)=f(a-x)+f(a+x)-2f(a)=0,
∴F(-x)=-F(x),∴函数F(x)=f(x+a)-f(a)为R上的奇函数,∴故②正确.
在③中,函数f(x)=x3-3x2+6x-2,
∴f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+6(1+x)-2+(1-x)3-3(1-x)2+6(1-x)-2=4,
∴点(1,2)为函数f(x)的“中心点”,故③正确.
故答案为:①②③.
点评 本题主要考查函数中心的定义的应用,综合性较强,运算量量较大,难度较大.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | -$\frac{1}{2}$ |
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A. | (-6,-3) | B. | (6,9) | C. | (7,10) | D. | (10,13) |
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