Question

13．已知f（x）=e^x-ax-b，a，b∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在坐标原点处的切线是x轴，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，可得a=1，b=1，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立，求出函数的导数，分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax-b的导数为f′（x）=e^x-a，
在坐标原点处的切线是x轴，即有1-a=0，解得a=1，
由e⁰-0-b=0，解得b=1，
由f′（x）＞0解得x＞0；由f′（x）＜0解得x＜0．
可得增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）；
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立?f（x）_min≥0恒成立．
由于f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b≥-b≥0，
得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，此时f（-∞）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna），
ab≤a²（1-lna）=g（a），
现求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，
得极小值点a=$\sqrt{e}$，g（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
所以ab的最大值为$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．