Question

在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D={

a

|

a

=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义在一个称“序”的关系，记为“＞＞”，定义如下：对于任意两个向量

a1

=（x₁，y₁）

a

₂=（x₂，y₂），“

a

₁＞＞

a

₂”当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，按上述定义的关系“＞＞”给出如下四个命题：
①若

e

₁=（1，0），

e

₂=（0，1），

0

=（0，0），则

e

₁＞＞

e

₂＞＞

0

②若

a

₁＞＞

a

₂，

a

₂＞＞

a

₃，则

a

₁＞＞

a

₃
③若

a

₁＞＞

a

₂，则对于任意

a

∈D，

a

₁+

a

＞＞

a

₂+

a

④对于任意向量

a

＞＞

0

，

0

=（0，0），若

a

₁＞＞

a

₂，则

a

•

a

₁=

a

•

a

₂
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用,简易逻辑

分析：①由

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），横坐标1＞0，可得

e1

＞＞

e2

，而

0

=（0，0），横坐标0=0，纵坐标1＞0，即可判断

e1

＞＞

e2

＞＞

0

；
②若

a1

＞＞

a2

，则“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，若

a2

＞＞

a3

，则“x₂＞x₃”或“x₂=x₃”且“y₂＞y₃”，利用不等式的性质即可判断出正误；
③若

a1

＞＞

a2

，则“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，对于任意

a

=（x，y）∈D，利用不等式的性质可得x₁+x＞x₂+x，或x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，
即可判断出正误；
④对于任意向量

a

＞＞

0

，

0

=（0，0），若

a1

＞＞

a2

，取

a1

=（4，3），

a2

=（2，1），

a

=（1，1），利用数量积运算可得：

a

•

a1

=7，

a

•

a2

=3，

a

•

a1

≠

a

•

a2

，即可判断出正误．

解答： 解：①∵

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），横坐标1＞0，∴

e1

＞＞

e2

，而

0

=（0，0），横坐标0=0，纵坐标1＞0，则

e1

＞＞

e2

＞＞

0

；
②若

a1

＞＞

a2

，则“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，若

a2

＞＞

a3

，则“x₂＞x₃”或“x₂=x₃”且“y₂＞y₃”，可得“x₁＞x₃”或“x₁=x₃，y₁＞y₃”，则

a1

＞＞

a3

．因此正确．
③若

a1

＞＞

a2

，则“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，对于任意

a

=（x，y）∈D，则x₁+x＞x₂+x，或x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，因此

a1

+

a

＞＞

a2

+

a

．
因此正确；
④对于任意向量

a

＞＞

0

，

0

=（0，0），若

a1

＞＞

a2

，取

a1

=（4，3），

a2

=（2，1），

a

=（1，1），则

a

•

a1

=7，

a

•

a2

=3，因此

a

•

a1

≠

a

•

a2

，不正确．
其中真命题的序号为 ①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了新定义、向量的运算、实数的性质、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．