Question

【题目】如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为 ，求CE的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以AB⊥BC1 ，
在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BCCC1cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，
所以B1C= ，
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1 ，
又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0， ），B1（﹣1，0， ）
， ，令 ，∴ ，
，
设平面AB1E的一个法向量为 ．
，令z= ，则x= ，y= ，
∴ ，．∵AB⊥平面BB1C1C， 是平面的一个法向量，
|cos＜ ＞|= ，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或 （舍去）．
∴CE=CC1=2．
【解析】（Ⅰ）证明AB⊥BC1 ， 在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1 ， 利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．