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设数列|an|的前n项和为Sn,a1=7,已知an+1=6Sn+7(n=1,2,3,…)
(Ⅰ)求证:{an}是等比数列,并求an
(Ⅱ)设bn=log7an,Tn是数列{
3
bnbn+1
}的前n项和,求使Tn
1
4
(n2-5n)对所有的n∈N+都成立的最大正整数n的值.
考点:数列的求和,等比数列的性质
专题:等差数列与等比数列
分析:(Ⅰ)在已知数列递推式中取n=n-1得另一递推式,作差后得到an+1=7an(n≥2),再求出数列第二项后即可说明{an}是等比数列,由等比数列的通项公式求得an
(Ⅱ)把数列{an}的通项公式代入bn=log7an,进一步代入
3
bnbn+1
,由裂项相消法求得数列{
3
bnbn+1
}的前n项和Tn,求出其最小值,代入Tn
1
4
(m2-5m)求解一元二次不等式得答案.
解答: (Ⅰ)证明:由an+1=6Sn+7,得
an=6Sn-1+7(n≥2),
两式作差得:an+1-an=6an,即an+1=7an(n≥2).
又a1=7,代入an+1=6Sn+7,得a2=6a1+7=6×7+7=49,
a2
a1
=7=
an+1
an
(n≥2)
,即{an}是等比数列,且首项为7,公比为7,
an=a1qn-1=7n
(Ⅱ)bn=log7an=log77n=n
3
bnbn+1
=
3
n(n+1)
=3(
1
n
-
1
n+1
)

Tn=3(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)
=3(1-
1
n+1
)

要使Tn
1
4
(m2-5m)对所有的m∈N+都成立,则
1
4
(m2-5m)<(Tnmin
而当n=1时(Tn)min=
3
2

3
2
1
4
(m2-5m)
,即m2-5m-6<0,
∴-1<m<6.
∴使Tn
1
4
(m2-5m)对所有的n∈N+都成立的最大正整数m的值为5.
点评:本题考查了等比关系的确定,考查了裂项相消法求数列的前n项和,训练了数列不等式的解法,是中档题.
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1
2
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