Question

如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心.

（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）平行关系的证明问题问题，要注意三角形中位线定理的应用，注意平行关系的传递性，以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化；
（2）立体几何中的求角问题，往往有两种思路，即“几何法”和“向量法”.本题应用“几何法”，应注意“一作，二证，三计算”，注意在直角三角形中解决问题；
应用“向量法”，要注意利用已有的垂直关系，一建立空间直角坐标系.
本题建系后，确定点的坐标及平面的法向量为， 及
计算得到 ，利用角的“互余”关系，即得直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析：（1）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，
∴∥，又∵平面，∴∥平面            2分
连结，则∥，平面，∥平面          4分
∴平面∥平面，                  5分
平面，                        6分
（2）矩形所在的平面和平面互相垂直，
所以平面，又平面，所以         7分
又，，，
由余弦定理知，得          8分
∴⊥平面                            9分
所以为直线与平面所成的角，                 10分
在直角三角形中
             12分

法二：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
          7分
设平面的法向量为，
，            8分
由 所以 
令，则 ，所以，         10分

∴                    11分
∴直线与平面所成角的正弦值为           12分