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    若3x2-xy+3y2=20，则8x2+23y2的最大值是
     
    ．
    考点：函数的最值及其几何意义
    专题：函数的性质及应用
    分析：根据条件，利用三角换元法结合辅助角公式进行化简求解即可．
    解答： 解：引入参数t，
    ∵3x2-xy+3y2=20，
    ∴（x-
    y
    6
    ）2+
    35
    36
    y2=
    20
    3
    ，
    设
    x-
    y
    6
    =
    20
    3
    cosα
    		35
    6
    y=
    20
    3
    sinα
    ，则
    x=
    20
    3
    cosα+
    2
    		21
    sinα
    y=
    12
    		21
    sinα
    ，
    代入8x2+23y2并化简得8x2+23y2=
    2232
    21
    +
    1128
    21
    sin(2α+θ)    ≤
    2232
    21
    +
    1128
    21
    =160    ，
    当且仅当y=4x时，8x2+23y2的取得最大值为160，
    故答案为：160
    点评：本题主要考查考查利用三角换元法求式子的最值，是一道难度较大的竞赛试题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    构造如图所示的数表，规则如下：先排两个l作为第一层，然后在每一层的相邻两个数之间插入这两个数和的a倍得下一层，其中a∈（0，
    1
    3
    ），设第n层中有an个数，这an个数的和为Sn（n∈N*）．
    （I）求an；
    （Ⅱ）证明：
    n
    2
    ≤
    a1-1
    S1
    +
    a2-1
    S2
    +…+
    an-1
    Sn
    ＜(
    2
    a+1
    )n    -1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1、F2分别是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的左右焦点，其右支上一点P，满足|PF1|=3，实轴长为1，M是y轴上一点，则
    PM
    •(
    PF1
    -
    PF2
    )    =（　　）
    A、
    1
    2
    B、
    3
    2
    C、
    5
    2
    D、
    7
    2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=4cos（θ+
    π
    6
    ）和ρcos（θ+
    π
    6
    ）=5．
    （1）将C1，C2的方程化为直角坐标方程；
    （2）设点P在曲线C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．
    （1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？
    （2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．
    （1）求证：“如果直线l过点（3，0），那么
    OA
    •
    OB
    =3”是真命题．
    （2）写出（1）中命题的逆命题（直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点为大前提），判断它是真命题还是假命题，如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，则只需要举出一个反例说明即可．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    计算：lg2+lne-lg102+49log73．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（x-
    π
    6
    ）+
    1
    2
    ．
    （1）若x∈[0，
    π
    2
    ]，f（x）=
    11
    10
    ，求cosx的值；
    （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足2bcosA≤2c-
    		3
    a，求f（B）的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=ex（ax2-x-1）（a∈R）．
    （Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围
    （Ⅱ）当a＞0时，求f（|sinx|）的最小值．

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