Question

【题目】已知函数，.

（1）若直线与曲线和分别交于两点直线，且曲线在处的切线与在处的切线相互平行，求正数的最大值；

（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）问题可转化为在有解，也就是在有解，考虑的图像与直线有公共点即可得到参数的最大值.

（2）因为有三个不同的零点，所以函数必有两个不同的极值点，也就是导函数必有两个不同的零点，从而.我们还需要论证当，确有三个不同的零点，这可以通过零点存在定理和单调性来判断.

详解：（1）依题意，函数的定义域为，

，.

因为曲线在处的切线与在处的切线相互平行，

所以在有解，即方程在有解.

方程在有解转化为函数与函数的图象在上有交点.

令过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为，只须.

令切点为，则，又，所以，解得，

于是，所以，的最大值为

（2）由题意，则，

当时，∵，

∴在上为增函数，不符合题意.

当时，，令，则

.令的两根分别为且，

则∵，，∴，

当时，，∴，∴在上为增函数；

当时，，∴，∴在上为减函数；

当时，，∴，∴在上为增函数；

∵，∴在上只有一个零点1，且，.

∴

.

∵，又当时，，∴

∴在上必有一个零点.

∴

.

∵，又当时，，∴.

∴在上必有一个零点.

综上所述，故的取值范围为.