Question

设f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且它在区间（-∞，0）上单调增．
（1）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，试判断f（m）+f（n）的符号；
（3）若f（1）=0解关于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0．

Answer 1

分析：（1）在（0，+∞）上任取2个数b和a，b＞a＞0，则-b＜-a＜0，由f（x）在区间（-∞，0）上单调增及f（x）是奇函数推出
f（b）＞f（a）．
（2） 不妨设m＜n，则由题意知m＜-n＜0，再由f（x）在区间（-∞，0）上单调增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），移项可证的结论．
（3）利用函数的单调性，把不等式转化为log_a（1-x²）＞0=log_a1，分a＞1和1＞a＞0两种情况，利用函数的单调性解不等式．

解答：解：（1）f（x）在（0，+∞）上也是增函数，证明如下：
设b＞a＞0，则-b＜-a＜0，∵f（x）在区间（-∞，0）上单调增，
∴f（-b）＜f（-a），又  f（x）是奇函数，∴-f（b）＜-f（a），
即   f（b）＞f（a），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵mn＜0且m+n＜0，不妨设m＜n，则 m＜0，n＞0，|m|＞|n|，
∴m＜-n＜0，再由f（x）在区间（-∞，0）上单调增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
∴f（m）+f（n）＜0．
（3）∵f（1）=0，∴关于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0  即 f[log_a（1-x²）+1]＞f（1），
∴log_a（1-x²）+1＞1，∴log_a（1-x²）＞0，
当a＞1时，1-x²＞1，无解；      
当1＞a＞0时，1＞1-x²＞0，1＞x²＞0，-1＜x＜0 或 0＜x＜1，
综上，关于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0的解集是：
当a＞1时，解集是∅，当1＞a＞0时，解集是（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，以及利用函数的单调性解对数型不等式，体现了等价转化的数学思想．