Question

6．已知函数f（x）=alnx-（a+1）x-$\frac{1}{x}$
（1）当a＜-1时，讨论f（x）的单调性
（2）当a=1时，若g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方
（3）证明：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 （1）由已知得x＞0，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（a+1）+$\frac{1}{{x}^{2}}$，根据a=-2，-1＜a＜-2，a＞-2，利用导数性质分类讨论，能求讨论f（x）的单调性．
（2）a=1时，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，利用导数性质推导出f（x）＜g（x）恒成立，由此能证明g（x）的图象恒在f（x）图象的上方
（3）由lnx-x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx-x+1，则K′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．从而$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$．令x=n²，得 $\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}≤1-\frac{1}{{n}^{2}}$，从而$\frac{lnn}{{n}^{2}}≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$，由此能证明$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）

解答 解：（1）∵函数f（x）=alnx-（a+1）x-$\frac{1}{x}$，
∴x＞0，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（a+1）+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-（a+1）{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}}$，
∵a＜-1，由f′（x）＞0，得[-（a+1）x-1]（x-1）＞0，
当a=-2时，由f′（x）＞0，得x≠1，增区间为（-∞，1]，[1，+∞），无减区间；
当-1＜a＜-2时，由f′（x）＞0得，x＞-$\frac{1}{a+1}$或x＜1，增区间为（0，1]，[-$\frac{1}{a+1}$，+∞），减区间为[1，-$\frac{1}{a+1}$]；
当a＞-2时，由f′（x）＞0得，x＜-$\frac{1}{a+1}$或x＞1，增区间为（0，-$\frac{1}{a+1}$]，[1，+∞），减区间为[-$\frac{1}{a+1}$，1]．
证明：（2）a=1时，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，
设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∵当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0，即f（x）＜g（x）恒成立，
∴g（x）的图象恒在f（x）图象的上方．
（3）由（2）知lnx-x+1≤0 （x＞0），
设K（x）=lnx-x+1，则K′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0． 即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$．
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得 $\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}≤1-\frac{1}{{n}^{2}}$，∴$\frac{lnn}{{n}^{2}}≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{2}}+1-\frac{1}{{3}^{2}}+…+1-\frac{1}{{n}^{2}}$）
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）]
＜$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$）]
=$\frac{1}{2}[n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{2}[n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查g（x）的图象恒在f（x）图象的上方的证明，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．