Question

已知圆心为C的圆经过点A（0，1）和B（-2，3），且圆心在直线l：x+2y-3=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求切线的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆C过A和B两点，得到线段AB为圆C的弦，故圆心C一定在弦AB的垂直平分线上，由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线AB的斜率求出线段AB垂直平分线的斜率，再利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出线段AB垂直平分线的方程，与直线l联立组成方程组，求出方程组的解得到两直线的交点坐标，即为圆心C的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长，即为圆C的半径，根据圆心和半径写出圆C的标准方程即可；
（2）分两种情况考虑：当与坐标轴的截距为0时，设切线方程的斜率为k，得到切线方程为y=kx，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线的方程；当与坐标轴的截距不为0时，根据圆C的切线在x与y轴上的截距相等，设出圆C的切线方程为x+y=b，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而确定出切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．

解答：解：（1）由题意可知AB为圆C的弦，其垂直平分线过圆心C，
∵A（0，1）和B（-2，3），
∴k_直线AB=

3-1

-2-0

=-1，
∴线段AB垂直平分线的斜率为1，
又线段AB的中点坐标为（

0+(-2)

2

，

1+3

2

），即（-1，2），
∴线段AB的垂直平分线的方程为：y-2=x+1，即x-y+3=0，
又圆心在直线l：x+2y-3=0上，
联立得：

x-y+3=0 x+2y-3=0

，
解得：

x=-1 y=2

，即圆心C坐标为（-1，2），
∴圆C的半径|AC|=

12+(-1)2

=

2

，
则圆C的方程为：（x+1）²+（y-2）²=2；
（2）若直线过原点，设切线的斜率为k，
∴切线方程为y=kx，即kx-y=0，
∴圆心C到切线的距离d=

|-k-2|

1+k2

=r=

2

，
整理得：k²-4k-2=0，
解得：k=2+

6

或k=2-

6

，
∴所求切线的方程为：y=（2+

6

）x或y=（2-

6

）x；
若截距b≠0，根据题意设圆的切线方程为：x+y=b，
∴圆心C到切线的距离d=

|b-1|

2

=r=

2

，
解得：b=3或b=-1，
∴所求切线的方程为：x+y-3=0或x+y+1=0，
综上，所有满足题意的切线方程有4条，分别为y=（2+

6

）x或y=（2-

6

）x或x+y-3=0或x+y+1=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，线段的中点坐标，直线的点斜式方程，两直线的交点坐标，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及直线的截距式方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题第二问的关键．