Question

设函数f(x)=ax+

b

x

(a，b∈R)，若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）设g（x）=lnx-f（x），若g（x）≤-1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，则得到f′（1）=1，进而可得结果；
（Ⅱ）由于g（x）≤-1恒成立，等价于g（x）_max≤-1．利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=a-

b

x2

，
因为f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，
所以f′（1）=a-b=1，解得b=a-1；
（Ⅱ）因为g（x）=lnx-f（x），
所以g（x）=lnx-f（x）=lnx-（ax+

a-1

x

）=lnx-ax-

a-1

x

，
要使g（x）≤-1恒成立，即g（x）_max≤-1．
g′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

-(ax+a-1)(x-1)

x2

，
①当a=0时，g′(x)=

x-1

x2

，
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
则g（x）_max=g（1）=1，不符题意；
②当a≠0时，g′(x)=

-(ax+a-1)(x-1)

x2

=

-a[x-(-1+ 1 a )](x-1)

x2

=0⇒x=1，x=-1+

1

a

，
（1）若a＜0，-1+

1

a

＜0，
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
则g（x）_min=g（1）=1-2a＞1＞-1，不符题意；
（2）若a＞0，
若0＜a≤

1

2

，-1+

1

a

＞1，
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
这时g(-1+

1

a

)=ln(-1+

1

a

)+2a-1＞-1，不符题意；
若

1

2

＜a＜1，0＜-1+

1

a

＜1，x∈(0，-1+

1

a

)，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
这时g（1）=1-2a＞1-2=-1，不符题意；
若a≥1，-1+

1

a

≤0，x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
则g（x）_max=g（1）=1-2a≤-1，符合题意；
综上，得g（x）≤-1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，本题综合性强，运算量大，对能力要求较高．