Question

15．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出，由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ²=4ρcosθ，代入化为直角坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$，解出再化为极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为．

解答 解；（1）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}$=0，
由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ²=4ρcosθ，化为x²+y²-4x=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为$（2，\frac{5π}{3}）$，$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、直线与曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．