Question

例2：如图：△ABC是边长为3厘米的正三角形，D是BC边上靠近点B的三等分点，甲、乙两个质点分别从点A、D同时出发，都以1厘米/秒的速度按图示方向沿三角形的边作匀速运动，经过时间t（0≤t≤3）秒后，两质点的距离为S（t）．
（1）写出函数S（t）
（2）求S（t）的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值时相应的t的值．

Answer 1

分析：（1）设A，D分别运动到E，F，由于0≤t≤2时，E在AB上，F在BC上，故在三角形BEF中，利用余弦定理可得s(t)=

BE2+BF2-2×BE×BF×cos60°

；同理2≤t≤3时，E在AB上，F在AC上，则三角形AEF中可求；
（2）先分段求函数的最值，当0≤t≤2时，s(t)=

3t2-9t+9

=

3(t- 3 2 ) 2+ 27 4

，可知函数的最值，同理当2≤t≤3时，s(t)=

3t2-15t+25

=

3(t- 5 2 )2+ 75 4

，可知函数的最值，再比较可得S（t）的最大值和最小值从而求出相应的t的值．

解答：解：（1）设A，D分别运动到E，F，则
当0≤t≤2时，s(t)=

BE2+BF2-2×BE×BF×cos60°

=

3t2-9t+9

当2≤t≤3时，s(t)=

AE2+AF2-2×AE×AF×cos60°

=

3t2-15t+25

∴S(t)=

3t2-9t+9 ，0≤t≤2 3t2-15t+25 ，2≤t≤3

（2）当0≤t≤2时，s(t)=

3t2-9t+9

=

3(t- 3 2 ) 2+ 27 4

，
∴S（t）的最大值和最小值分别为3，

3

2

3

；
 当2≤t≤3时，s(t)=

3t2-15t+25

=

3(t- 5 2 )2+ 75 4

∴S（t）的最大值和最小值分别为

7

，

5

2

3

∴S（t）的最大值和最小值分别为3，

3

2

3

；相应的t的值为0，

3

2

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查余弦定理的运用，同时考查了分段函数的最值，综合性强．