Question

在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃；
（1）求{a_n}的公差d和{b_n}的公比q；
（2）设

1

cn

=

1

5

（a_n+4），求数列{c_nc_n+1}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可得，a₁，a₂，a₈成等比数列，从而可建立关于a₁，d的方程，结合a₁=1解方程可得d，从而可得a_n，q
（2）利用（1）可求c_n=

1

n

，而cn•cn-1=

1

n(n-1)

，利用裂项求和可求s_n

解答：解：（1）依题意有a₁，a₂，a₈成等比，∴a₂²=a₁a₈，即（a₁+d）²=a₁（a₁+7d）
整理得：5a₁d=d²又∵a₁=1，d≠0，∴d=5（3分）
∴b₂=a₂=1+5=6，从而得q=

b2

b1

=6（6分）
（2）由（1）得：a_n=1+（n-1）×5=5n-4，
∴

1

cn

=

1

5

（a_n+4）=n∴

1

cn

=n，
c_nc_n+1=

1

n

-

1

n+1

（9分）
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

（12分）

点评：本题主要考查了等差数列及等比数列的通项公式的综合运用，还考查了裂项求和．属于对基本公式的考查，属于基础题中档题．