Question

使f（x）=sin（2x+θ）-cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ的一个值是（ ）
A．-
B．-
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+θ- ），由于它是奇函数，故θ-=kπ，k∈z，当k为奇数时，f（x）=-2sin2x，满足在[0，]上是减函数，
此时，θ=2nπ-，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件，从而得出结论．
解答：解：∵f（x）=sin（2x+θ）-cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-）为奇函数，
∴f（0）=0，即sin（θ-）=0．∴θ-=kπ，k∈z，故 θ=kπ+，k∈z．
当k为奇数时，令k=2n-1，θ=2nπ-，n∈z，此时f（x）=-2sin2x，满足在[0，]上是减函数，
当k为偶数时，令k=2n，θ=2nπ+，n∈z，此时f（x）=2sin2x，不满足在[0，]上是减函数．
故选C．
点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口，属于中档题．